機械要素 – 慣性モーメント(事前準備)

機械設計

はじめに

モータのように回転する機械要素を使用する場合は、慣性モーメントの計算が必要となります。

慣性モーメントは何ぞや、と疑問が湧きますが、具体的な式の導出は専門書に譲ります。しかしながら、そんなに難しいものではありません。

ここでは、回転運動における慣性モーメントとは、直進運動における質量に相当するものと覚えておけば間違いありません。

直進運動と回転運動との比較 – 力とトルク

直進運動での距離を\( \, x \, [m] \)、速度を\( \, v \, [m/s] \)、加速度を\( \, a \, [m/s^2] \)、力を\( \, F \, [kg \cdot m/s^2] \)と置きます。そして、回転運動での角度を\( \, \theta \, [rad] \)、角速度を\( \, \omega \, [rad/s] \)、角加速度を\( \, \alpha \, [rad/s^2] \)、トルクを\( \, T \, [kg \cdot m^2 \times rad/s^2] \)と置いて、両者を比較してみます。

\[ x : \theta \]
\[ v : \omega \]
\[ a : \alpha \]
\[ F : T \]
となることがわかります。
さて、上でも記載しましたが、直進運動の力は、力 = 質量 x 加速度 で計算されますが、回転運動の場合は、静止状態から回転させる力、すなわちトルクとなり、トルク = 慣性モーメント x 角加速度で計算されます。
\[ F = ma \]
\[ T = I \alpha \]
上式を見比べてみると、回転運動における慣性モーメントとは、直進運動における質量に相当するものということが理解できると思います。

直進運動と回転運動との比較 – 動力

最後に、動力の比較を行いたいと思います。直進運動における動力は、動力 = 力 x 速度 で表されると知っていると、上述の比較から、回転運動の場合は、動力 = トルク x 角速度 で表されることがわかります。

\[ P = Fv \]
\[ P = T \omega \]
ここで、動力を求めるのに角速度を測定することは困難であるため、ボールねじの記事で勉強した知識を使います。すなわち、角速度\( \, \omega \)は、\( \, 2 \pi n \)、\( \, n=N/60 \)であることから、以下のように表されます。
\[ P = T \frac{2 \pi N}{60} \]
式を変形すると、
\begin{eqnarray*}   T &=& \frac{60}{2 \pi} \frac{P}{N} \\ &=& 9.55 \frac{P}{N} \end{eqnarray*}
となり、よくみかける9.55という数値が現れます。



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