機械要素 – ねじの力学 その2

機械設計

はじめに

この記事では、ねじに働く力の釣り合いから、ねじの回転に要するトルクの式の導出を行います。この式によって、ねじに生じる軸力(引張り内力)が計算できますので、ねじが破壊しないためのスパナにかけることのできる力などを求めることができます。

さて、ねじを締めるということは、めねじのリード角\( \beta \)の斜面に乗っているおねじを、押し上げることです。そして、おねじとめねじの間には摩擦が働きますので、必然的にトルクの式に摩擦が現れることになります。

四角ねじの場合

まずは、一番現象を簡単に説明できる四角ねじで説明します。

締め付けトルクによる、ねじに加える力を\( P \)、その力によって発生する軸力を\( Q \)とすると、それぞれの方向はもちろん、水平、垂直となります。また、ねじ面の摩擦係数を\( \mu \)とします。この場合における斜面の力の釣り合いは、以下のようになります。

\[P \cos \beta = Q \sin \beta + \mu(Q \cos \beta + P \sin \beta)\]
この式を\( P \)についてまとめると、以下のようになります。
\[P = Q \frac{\mu + \tan \beta}{1 – \mu \tan \beta} \]
ここで、タンジェントの加法定理を用いると、上式を綺麗にまとめることができるので、\( \mu = \tan \rho \)と置くと、上式は以下のようになります。
\[ P = Q \tan(\rho + \beta) \]
あるいは、下図を見れば明らかなように、角度\( \rho \)は明らかに摩擦角であることがわかります。ここで、図中の力\( F \)は、めねじからおねじへの反力となります。(力\( Q \)と\( P \)の合力の反対の力となります)

三角ねじの場合

次に、三角ねじの場合の関係式を求めてみます。ただし、ここででは簡易的な求め方を紹介することとし、より詳細な方法、あるいは数学的な方法を求める方は、下記の参考文献[2]を参照してください。

前述の四角ねじと三角ねじで何が違うかといいますと、ねじの斜面にかかる垂直方向の力が違ってきます。角度\( \beta \)の斜面方向の力は同じなのです。そして、この垂直方向の力を求めるには、二つの手順を踏む必要があります。

まずは、軸力\( Q \)について考えてみましょう。

第一の手順は四角ねじと同じで、軸力\( Q \)の角度\( \beta \)の斜面に垂直な力は、\( Q \cos \beta\)となります。

次に、三角ねじのねじ山角度を\( 2\alpha \)とすると、この三角ねじの斜面にかかる垂直な力は、図より以下となります。ここで注意しないといけないことは、力の分解をするときは、ねじの斜面に沿ってではなく、締め付けトルクによる力と合うように水平方向に分解しないといけません。

 \[ N = \frac{Q \cos \beta}{\cos \alpha} \]
締め付けトルクによる力の斜面に垂直な成分も同様に考えると、力の釣り合いは以下となります。
\[P \cos \beta = Q \sin \beta + \mu(Q\frac{\cos \beta }{\cos \alpha} + P\frac{\sin \beta}{\cos \alpha})\]
そして、\( \mu’ = \frac{\mu}{\cos \alpha} = \tan \rho’ \)と置くと、
\[ P = Q \tan(\rho’ + \beta) \]
となります。

参考文献

[1] 中島尚正. 機械設計-基本原理からマイクロマシンまで. 東京大学出版会、2003

[2] 酒庭秀康. 現場で役立つモノづくりのための治具設計. 日刊工業新聞社、2009

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